Question

關于函數y=f（x）有下列四個敘述：
①對于函數定義域內的任意x，都有f（x+2π）=f（x）成立；
②函數y=f（x）沒有最大值；
③函數y=f（x）在區間（0，

π

2

）上是單調遞增的；
④函數y=f（x）的圖象關于原點對稱．
（1）指出函數y=xsinx符合上述哪幾個敘述；
（2）問是否存在符合上述四個敘述的函數，請說明理由．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值

分析：（1）分析函數y=xsinx的周期性，最值，單調性，對稱性，可得函數y=xsinx符合敘述②③；
（2）分析正切函數y=tanx的周期性，最值，單調性，對稱性，可得正切函數y=tanx符合上述四個敘述．

解答： 解：（1）函數y=xsinx不是周期函數，故不滿足①，
函數y=xsinx沒有最大值，故滿足②，
函數y′=sinx+xcosx，當x∈（0，

π

2

）時，y′＞0，故函數y=xsinx在區間（0，

π

2

）上是單調遞增，故滿足③，
函數y=xsinx沒有對稱中心，其對稱軸為y軸，故不滿足④，
即函數y=xsinx符合敘述②③；
（2）正切函數y=tanx，滿足上述四個敘述，
∵2π是正切函數y=tanx的一個周期，故f（x+2π）=f（x）恒成立，滿足①，
正切函數y=tanx沒有最大值，滿足②，
正切函數y=tanx在區間（0，

π

2

）上是單調遞增的，滿足③，
正切函數y=tanx的圖象關于原點對稱，滿足④．

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的周期性，最值，單調性，對稱性，難度中檔．