Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且點(diǎn)（a₁³+a₂³+…+a_n³，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=

x

的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：2 an=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn

2n-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得S_n=

a13+a23+…+an3

，從而an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a₁+a₂+…+a_n）²，進(jìn)而an+12-an2=an+1+an，由此能推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為l，公差為l的等差數(shù)列，求出a_n=n．
（2）由2 an=2ⁿ=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn

2n-1

，得2^n-1=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn-1

2n-1-1

，由此能求出b_n=2^n-1（2ⁿ-1）．

解答： 解：（1）由已知得S_n=

a13+a23+…+an3

，
當(dāng)n=1時(shí)，有a1=S1=

a13

，
由a_n＞0，解得a₁=1，
由S_n=

a13+a23+…+an3

，
得a13+a23+…+an3=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
則有a13+a23+…+an3+an+13=（a₁+a₂+…+a_n+1）²，②
②-①，得an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a₁+a₂+…+a_n）²，
由于a_n＞0，所以an+12=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，③
同樣有，an2=2(a1+a2+…+an-1)+an，（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，
所以a_n+1-a_n=l，
由于a₂-a₁=l，
即當(dāng)n≥l時(shí)都有a_n+1-a_n=1，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為l，公差為l的等差數(shù)列，故a_n=n．
（2）∵2 an=2ⁿ=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn

2n-1

，①
∴2^n-1=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn-1

2n-1-1

，②
①-②，得：

bn

2n-1

=2^n-1，
∴b_n=2^n-1（2ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．