Question

設函數f（x）=x-

1

x

-alnx（a∈R）．討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：導數的概念及應用

分析：求導并令導數等于零，解方程，跟據f′（x），f（x）隨x的變化情況即可求出函數的單調區間．

解答： 解：f（x）=x-

1

x

-alnx，定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4，
①當-2≤a≤2時，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
②當a＜-2時，△＞0，g（x）=0的兩根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
③當a＞2時，△＞0，g（x）=0的兩根為x_1⁼

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

，
當0＜x＜x₁時，f′（x）＞0；
當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0；
當x＞x₂時，f′（x）＞0；
故f（x）分別在（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）上單調遞增，
在（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

）上單調遞減．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和極值問題，對方程f'（x）=0有無實根，有實根時，根是否在定義域內和根大小進行討論，體現了分類討論的思想方法．