Question

判斷函數f（x）=x+

1

x

在（0，1）上的單調性，并用定義給出證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：f（x）=x+

1

x

在（0，1）上的單調遞減．運用單調性的定義證明，注意作差、變形、定符號和下結論幾個步驟．

解答： 解：f（x）=x+

1

x

在（0，1）上的單調遞減．
理由如下：設0＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=（m+

1

m

）-（n+

1

n

）
=（m-n）-（

1

n

-

1

m

）=（m-n）•

mn-1

mn

，
由于0＜m＜n＜1，則m-n＜0，mn＜1，即mn-1＜0，
則f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
則有f（x）=x+

1

x

在（0，1）上的單調遞減．

點評：本題考查函數的單調性的判斷和證明，注意運用定義法，考查運算能力，屬于基礎題．