Question

已知f（x）是定義在R上的增函數，對x∈R有f（x）＞0，且f（5）=1，設F（x）=f（x）+

1

f(x)

，討論F （x）的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：這是抽角函數的單調性問題，應該用單調性定義解決．對差的符號進行判斷時要注意根據其形式選擇判斷的方式．

解答：解：在R上任取x₁、x₂，設x₁＜x₂，
∴f（x₂）＞f（x₁），
F(x2)-F(x2)=[f(x2)+

1

f(x2)

]-[f(x1)+

1

f(x1)

]
=[f(x2) -f(x1) ][1-

1

f(x1) f(x2)

]
∵f（x）是R上的增函數，且f（5）=1，
∴當x＜5時0＜f（x）＜1，而當x＞5時f（x）＞1；
①若x₁＜x₂＜5，則0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
∴1-

1

f(x1) f(x2)

＜0，
∴F（x₂）＜F（x₁）；
②若x₂＞x₁＞5，則f（x₂）＞f（x₁）＞1，
∴f（x₁）f（x₂）＞1
∴1-

1

f(x1)f(x2)

＞0
∴F（x₂）＞F（x₁）
綜上，F（x）在（-∞，5）為減函數，在（5，+∞）為增函數

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查抽象函數單調性的證明，對于抽象函數的單調性的判斷仍然要緊扣單調性的定義，結合題目中所給性質和相應的條件，對任意x₁、x₂在所給區間內比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小，或

f(x 1)

f(x 2)

的大小．有時根據需要，需作適當的變形：如x1=x2•

x1

x2

，x₁=x₂+x₁-x₂