Question

【題目】已知定義在上的函數是奇函數．

（1）求的值；

（2）判斷的單調性，并用單調性定義證明；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）在上是減函數（3）

【解析】試題分析：（1）由定義在實數集上的奇函數有列式求解，或直接由奇函數的定義得恒等式，由系數相等求解的值；（2）設， 且，可得，只需判斷；（3）由函數的奇偶性和單調性，把給出的不等式轉化為含有的一元二次不等式，分離參數后求二次函數的最值，即可實數的取值范圍.

試題解析：（1）∵是定義在上的奇函數，

∴，∴，∴．

（2）， 在上是減函數．

證明：設， 且，

則，

∵，∴， ， ，

∴，

即，∴在上是減函數．　

（3）不等式

又是上的減函數，∴，

∴，對恒成立，

∴．

【方法點晴】本題主要考查函數的奇偶性及單調性的應用，以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.