Question

【題目】已知函數f（x）=ex ， g（x）= x2+x+1，則與f（x），g（x）的圖象均相切的直線方程是 ．

Answer 1

【答案】y=x+1
【解析】解：設所求直線l與函數f（x）的圖象相切，切點為（t，et），

函數f（x）=ex，導數為f′（x）=ex，

則直線l的方程為y﹣et=et（x﹣t），即y=etx+et（1﹣t），

直線l與函數g（x）的圖象相切的充要條件是關于x的方程etx+et（1﹣t）= x2+x+1，

即 x2+（1﹣et）x+1﹣et（1﹣t）=0有兩個相等的實數根，

∴△=e2t﹣2et+1﹣2+2et（1﹣t）=0，

化為e2t﹣2tet﹣1=0，

設φ（t）=e2t﹣2tet﹣1，

φ′（t）=2e2t﹣2（t+1）et=2et（et﹣t﹣1），

由h（t）=et﹣t﹣1的導數為h′（t）=et﹣1，

當t＞0時，h（t）遞增；當t＜0時，h（t）遞減．

可得h（t）≥h（0）=0，

即有φ′（t）≥0，即φ（t）在R上遞增，

由φ（0）=0，e2t﹣2tet﹣1=0的解為t=0，

存在唯一一條直線l與函函數f（x）與g（x）的圖象均相切，

其方程為y=x+1．

所以答案是：y=x+1．