Question

已知函數(shù)f(x)＝2x－，x∈(0，1]．
(1)當a＝－1時，求函數(shù)y＝f(x)的值域；
(2)若函數(shù)y＝f(x)在x∈(0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）[2，＋∞)（2）(－∞，－2]

(1)當a＝－1時，f(x)＝2x＋，
因為0<x≤1，所以f(x)＝2x＋≥2＝2，當且僅當x＝時，等號成立，
所以函數(shù)y＝f(x)的值域是[2，＋∞)．
(2)(解法1)設(shè)0<x₁<x₂≤1，
由f(x₁)－f(x₂)＝＝2(x₁－x₂)＋＝，
因為函數(shù)y＝f(x)在x∈(0，1]上是減函數(shù)，
所以f(x₁)－f(x₂)>0恒成立，
所以2x₁x₂＋a<0，即a<－2x₁x₂在x∈(0，1]上恒成立，
所以a≤－2，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]．
(解法2)由f(x)＝2x－，知f′(x)＝2＋，
因為函數(shù)y＝f(x)在x∈(0，1]上是減函數(shù)，
所以f′(x)＝2＋≤0在x∈(0，1]上恒成立，
即a≤－2x²在x∈(0，1]上恒成立，
所以a≤－2，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]．