Question

【題目】已知函數的最大值為，且曲線在x＝0處的切線與直線平行（其中e為自然對數的底數）．

（1）求實數a，b的值；

（2）如果，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）對原函數求導數，然后利用在x＝0處切線的斜率為1，函數的最大值為列出關于a，b的方程組求解；

（2）利用找到的關系式，然后引入，構造關于t的函數，將轉換成關于t的函數，求最值即可．

解：（1）由已知．

則易知，又因為，故a＝0．

此時可得．

①若b＞0，則當時，遞減；

當時，遞增．

此時，函數有最小值，無最大值．

②若b＜0，則當時，遞增；

當時，遞減．

此時，解得．

所以即為所求．

（2）由，且得：．

∴．設，則

可得，所以要證，即證．

∵t＞0，所以，所以即證．

設，則．

令，則

當時，遞減；當時，遞增．

所以，即，所以在上遞增．

所以．

．