Question

【題目】定義：從數列{an}中抽取m（m∈N，m≥3）項按其在{an}中的次序排列形成一個新數列{bn}，則稱{bn}為{an}的子數列；若{bn}成等差（或等比），則稱{bn}為{an}的等差（或等比）子數列．

（1）記數列{an}的前n項和為Sn，已知．

①求數列{an}的通項公式；

②數列{an}是否存在等差子數列，若存在，求出等差子數列；若不存在，請說明理由．

（2）已知數列{an}的通項公式為an＝n+a（a∈Q+），證明：{an}存在等比子數列．

Answer 1

【答案】（1）①．②不存在等差子數列．見解析（2）見解析

【解析】

（1）①根據，當n＝1時，，當n≥2時，得到，兩式相減即可.②假設從數列{an}中抽3項ak，al，am（k＜l＜m）成等差，利用等差中項則2al＝ak+am，即2×2l﹣1＝2k﹣1+2m﹣1，

化簡得：2×2l﹣k＝1+2m﹣k．再利用奇偶數判斷.如果從數列{an}中抽m（m∈N，m≥4）項，其前三項必成等差數列，不成立得證.

（2）假設數列{an}中存在3項n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．設n0+a＝b，則b∈Q+，故可設（p與q是互質的正整數）．根據等比中項，有，即．取k＝q，則l＝2k+pq．再論證（b+k）2=b（b+l）是否成立即可.

（1）①因為，所以當n＝1時，，

當n≥2時，，所以．

綜上可知：．

②假設從數列{an}中抽3項ak，al，am（k＜l＜m）成等差，

則2al＝ak+am，即2×2l﹣1＝2k﹣1+2m﹣1，

化簡得：2×2l﹣k＝1+2m﹣k．

因為k＜l＜m，所以l﹣k＞0，m﹣k＞0，且l﹣k，m﹣k都是整數，

所以2×2l﹣k為偶數，1+2m﹣k為奇數，所以2×2l﹣k＝1+2m﹣k不成立．

因此，數列{an}不存在三項等差子數列．

若從數列{an}中抽m（m∈N，m≥4）項，其前三項必成等差數列，不成立．

綜上可知，數列{an}不存在等差子數列．

（2）假設數列{an}中存在3項n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．

設n0+a＝b，則b∈Q+，故可設（p與q是互質的正整數）．

則需滿足，

即需滿足（b+k）2＝b（b+l），則需滿足．

取k＝q，則l＝2k+pq．

此時，．

故此時（b+k）2＝b（b+l）成立．

因此數列{an}中存在3項n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比，

所以數列{an}存在等比子數列．