Question

【題目】如圖，在菱形中， 與相交于點， 平面， ．

（I）求證： 平面；

（II）當直線與平面所成的角為時，求二面角的余弦角．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）．

【解析】試題分析：（I）根據是菱形可得，根據線面垂直的性質可得，從而根據線面垂直的判定定理可得結論；（II）以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（I）平面 ；

（II）取的中點為，以為坐標原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量和

，設平面的法向量和

，設平面的法向量和二面角的余弦值為．

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質及利用空間向量求二面角的大小，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.