Question

【題目】已知二次函數滿足，且的最小值是.

（1）求的解析式；

（2）若關于的方程在區間上有唯一實數根，求實數的取值范圍；

（3）函數，對任意都有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） (2) （3）

【解析】試題分析：（1）因，故對稱軸為，故可設，再由得.（2）有唯一實數根可以轉化為與有唯一的交點去考慮.（3），任意都有不等式成立等價于，分、、和四種情形討論即可.

解析：（1）因，對稱軸為，設，由得，所以.

（2）由方程得，即直線與函數的圖象有且只有一個交點，作出函數在的圖象.易得當或時函數圖象與直線只有一個交點，所以的取值范圍是.

（3）由題意知.

假設存在實數滿足條件，對任意都有成立，即，故有，由.

當時， 在上為增函數， ，所以；

當時， ， .即，解得，所以.

當時，

即解得.所以.

當時， ，即，所以，綜上所述， ，

所以當時，使得對任意都有成立.