Question

已知直線x－2y＋2＝0經過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x＝分別交于M，N兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段MN的長度的最小值；

(3)當線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點T的個數，若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)由題知A(－2,0)，D(0,1)，故a＝2，b＝1，所以橢圓方程為：＋y²＝1.

(2)設直線AS的方程為y＝k(x＋2)(k>0)，從而可知M點的坐標為(，).

由得S(，)，

所以可得BS的方程為y＝－(x－2)，從而可知N點的坐標(，－)，

∴|MN|＝＋≥當且僅當k＝時等號成立，

故當k＝時，線段MN的長度取最小值.

(3)由(2)知，當|MN|取最小值時，k＝，此時直線BS的方程為x＋y－2＝0，S(，)，∴|BS|＝.要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于，只需T到直線BS的距離等于，所以點T在平行于直線BS且與直線BS的距離等于的直線l′上.直線BS：x＋y－2＝0；直線l′：x＋y＋m＝0，得m＝－或m＝－，

則直線l′：x＋y－＝0或x＋y－＝0，

，消去y得5x²－20x＋21＝0，Δ<0無解；

，消去y得5x²－12x＋5＝0，Δ＝44>0，有兩個解，

所以點T有兩個.