Question

已知直線x－2y＋2＝0經(jīng)過(guò)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：x＝分別交于M，N兩點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)求證：直線AS與直線BS斜率的乘積為定值；

(3)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 　　故橢圓的方程為　4分 　　(2)設(shè)直線AS的斜率，直線BS的斜率的乘積為＝　8分 　　(3)解法一：直線AS的斜率顯然存在，且＞0，故可設(shè)直線的方程為， 　　從而 　　由(2)知直線BS的方程為 　　從而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 　　線段的長(zhǎng)度取最小值　14分 　　解法二：直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為， 　　從而 　　由得0 　　設(shè)則得，從而 　　即又由得 　　故 　　又 　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 　　時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值　14分