Question

【題目】對于函數f（x），若在定義域內存在實數x，滿足f（﹣x）=﹣f（x），則稱f（x）為“局部奇函數”． （I） 已知二次函數f（x）=ax2+2bx﹣3a（a，b∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數”？并說明理由；
（II） 設f（x）=2x+m﹣1是定義在[﹣1，2]上的“局部奇函數”，求實數m的取值范圍；
（III） 設f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3，若f（x）不是定義域R上的“局部奇函數”，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）f（﹣x）+f（x）=0，則2ax2﹣6a=0得到 有解，

所以f（x）為局部奇函數．…（4分）

（II）由題可知2﹣x+2x+2m﹣2=0有解， ，

設 ， ，所以 ，

所以 ．

（III）若f（x）為局部奇函數，則f（﹣x）+f（x）=0有解，

得4x﹣m2x+1+m2﹣3+4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=0，

令2x+2﹣x=t≥2，

從而F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解．

①F（2）≤0，即 ；

② ，即 ，

綜上1﹣ ，

故若f（x）不為局部奇函數時

【解析】（I） 由已知中“局部奇函數”的定義，結合函數f（x）=ax2+2bx﹣3a，可得結論；（II） 若f（x）=2x+m﹣1是定義在[﹣1，2]上的“局部奇函數”，則2﹣x+2x+2m﹣2=0有解，進而可得實數m的取值范圍；（III） 若f（x）是定義域R上的“局部奇函數”，則f（﹣x）+f（x）=0有解，求出滿足條件的m的取值范圍后，再求其補集可得答案．