Question

【題目】某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發時，輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處，并以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設該小船沿直線方向以海里/時的航行速度勻速行駛，經過小時與輪船相遇.

（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

（2）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當t＝時，Smin＝10，此時v＝＝30

（2）航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇．

【解析】試題分析：（1）設相遇時小艇的航行距離為海里，則由余弦定理得，再由二次函數的性質求得最值；（2）根據題意，要用時最小，則首先速度最高，即為海里/小時，然后是距離最短，則，解得，再解得相應角．

試題解析：（1）設相遇時小艇的航行距離為海里，

則

故當時，

即小艇以海里/小時的速度航行，相遇小艇的航行距離最小

（2）

設小艇與輪船在處相遇.

則，

故

∵，

∴，即，解得

又時， ，

故時， 取得最小值，且最小值等于

此時，在中，有，

故可設計航行方案如下：

航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時