Question

已知函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在區間[-1，2]上的最大值是最小值的8倍．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當a＞1時，解不等式log_a（2a+2x）＜log_a（x²+1）．

Answer 1

考點：指數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）分類討論當a＞1時，當0＜a＜1時，求出最大值，最小值，即可求解答案．
（Ⅱ）轉化log₂（4+2x）＜log₂（x²+1）得出得出不等式組

4+2x＞0 4+2x＜x2+1

x＞-2 x2-2x-3＞0

，
求解即可

x＞-2 x＜-1或x＞3

解答： 解：f（x）_max=a²，f（x）_min=a^-1，則

a2

a-1

=a²=8，解得a=2；
當0＜a＜1時，f（x）=_max=a^-1，f（x）_min=a²，則

a-1

a2

=a^-3=8，解得a=

1

2

；
故a=2或a=

1

2

（Ⅱ） 當a＞1時，由前知a=2，不等式log_a（2a+2x）＜log_a（x²+1）
即得解集為（-2，-1）∪（3，+∞）．

點評：本題考察了指數函數的性質，分類討論的思想，屬于中檔題，關鍵是分類得出方程，不等式組．