Question

【題目】函數.

（1）若，，討論函數的零點個數情況；

（2）若，對于，存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當或時，函數 有一個零點；當時，函數有兩個零點；當時，函數沒有零點；(2).

【解析】

（1）分離參數，將函數零點個數的問題，轉化為函數圖像交點的問題，通過求解函數單調性和值域，得出結論；

（2）分離參數，將能成立問題轉化為函數值域的問題，再利用導數求解函數的值域即可.

（1）當時，，定義域為

令，即，等價于

令，則，令，解得

故當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增.

故.

又當趨近于0時，趨近于正無窮；

當時，，且趨近于0，

據此，畫出函數的示意圖如下：

結合圖像，以及函數單調性可知：

當或時，函數 有一個零點；

當時，函數有兩個零點；

當時，函數沒有零點.

（2）當時，

存在,等價于存在, ，且

等價于存在時，能成立，

且存在使得能成立.

因為是單調減函數，故能成立，

等價于

即；

令，故

令，解得或(舍)

故當單調遞減，當，函數單調遞增

故，又，

因為，故當時，

故要使得當時，存在，使得成立

只需，又因為

故可得.