Question

設x²+y²+z²=1，若λxyz≤

1+z

2

對一切x，y，z∈R^*均成立，則λ的最大值為（　�。�

• A、2（

  2

  +1）
• B、

  3

  2

  （

  3

  +1）
• C、4
• D、3

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：x²+y²+z²=1，化為1-z²=x²+y²≥2xy．由于λxyz≤

1+z

2

對一切x，y，z∈R^*均成立，可得xy≤

1+z

2λz

對一切x，y，z∈R^*均成立，因此

1-z2

2

≤

1+z

2λz

，化為λ≤

1

z(1-z)

，利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：∵x²+y²+z²=1，∴1-z²=x²+y²≥2xy．
∵λxyz≤

1+z

2

對一切x，y，z∈R^*均成立，
∴xy≤

1+z

2λz

對一切x，y，z∈R^*均成立，
∴

1-z2

2

≤

1+z

2λz

，
化為λ≤

1

z(1-z)

，而

1

z(1-z)

≥

1

( z+1-z 2 )2

=4．當且僅當z=

1

2

時取等號．
∴λ的最大值為4．
故選：C．

點評：本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．