Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面CDAB，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2，PA=AB=1．
（1）求證：PD⊥AB；
（2）在線段PB上找一點E，使AE∥平面PCD；
（3）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證AB⊥PD，可證AB⊥平面PAD，而根據線面垂直的判定定理可知只需證PA⊥AB，AB⊥AD，PA∩AD=A即可；
（2）取線段PB的中點E，PC的中點F，連接AE，EF，DF，EF是△PBC中位線，則EF∥BC，由線線平行得到線面平行；
（3）設點D到平面PBC的距離為h，根據等體積法V_P-BDC=V_D-PBC，建立等量關系，求出h即可．

解答：解：（1）∵PA⊥平面CDAB，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，（2分）
又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，（3分）
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．（4分）
（2）取線段PB的中點E，PC的中點F，連接AE，EF，DF，
EF是△PBC中位線，∴EF∥BC，EF=

BC

2

；（6分）
又AD∥BC，AD=

BC

2

，∴四邊形EFDA是平行四邊形，（8分）
∴AE∥DF，又AE?平面PDC，DF?平面PDC，∴AE∥平面PDC，
故線段PB的中點E是符合題意要求的點．（10分）
（3）設點D到平面PBC的距離為h．∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
PB=

PA2+AB2

=

2

，S_△PBC=

1

2

PB•BC=

2

，S_△BDC=

1

2

BC•AB=1（12分）
∵V_P-BDC=V_D-PBC，即

1

3

S_△BDC•PA=

1

3

S_△PBC•h，∴h=

2

2

．（14分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．