Question

【題目】已知函數

（1）若，證明；

（2）若，求的取值范圍；并證明此時的極值存在且與無關.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)利用題意求解導函數，求解 得到函數的單調遞增區間，求解 得到函數的單調遞減區間，由 可以得出結論；

(2)將 變形為，構造函數結合函數的性質即可求得實數 的取值范圍；分類討論 和兩種情況即可證明此時的極值存在且與無關.

試題解析：

（1）若

當單調遞減；當單調遞增

所以，得證

（1）若，變形得到，

令，得到

，令，可得在單增，在單減，所以，

在單減，當所以，∴

（注：若令），得到

令，

，所以在單減，在單增，所以，

即在單增，當所以，∴

下面再證明的極值存在且與無關：

①,

與無關.

②

（其中）所以且在處取極小值

因為，∴是關于的函數（與無關），

所以也是關于的函數（與無關）.