Question

平行四邊形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥平面CDE；
（2）求證：GH∥平面CDE；
（3）求三棱錐D-CEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得ED⊥平面ABCD，從而ED⊥BD．又BD⊥CD，由此能證明BD⊥平面CDE．
（2）連結(jié)EA，則GH∥AB，由此能證明GH∥平面CDE．
（3）由V_D-CEF=V_C-DEF，利用等積法能求出三棱錐D-CEF的體積．

解答： （1）證明：平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD．
∵ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD．
∴ED⊥BD．又∵BD⊥CD，∴BD⊥平面CDE．
（2）證明：連結(jié)EA，則G是AE的中點(diǎn)．
∴△EAB中，GH∥AB．又∵AB∥CD，
∴GH∥CD，∴GH∥平面CDE．
（3）解：設(shè)Rt△BCD中BC邊上的高為h．
∵CD=1，∠BCD=60°，∴BC=2，h=

3

2

．
即：點(diǎn)C到平面DEF的距離為

3

2

，
∴V_D-CEF=V_C-DEF=

1

3

•

1

2

•2•2•

3

2

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．