Question

已知圓C₁：x²+（y-2）²=1，點Q（0，-1），動點M到圓C₁的切線長與MQ的絕對值的比值為λ（λ＞0）．
（1）當λ=1和λ=

10

時，求出點M的軌跡方程；
（2）記λ=

10

時的點M的軌跡為曲線C₂．若直線l₁，l₂的斜率均存在且垂直相交于點P，當l₁，l₂與曲線C₁，C₂相交，且恒有l₁和l₂被曲線C₂截得的弦長相等，試求出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設點M的坐標為（x，y），欲求動點M的軌跡方程，即尋找x，y間的關系式，結合題中條件列式化簡即可得，求出當λ=1和λ=

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時的方程即可；
（2）設P（m，n），l₁：y-n=k（x-m），l₂：y-n=-

1

k

（x-m），由于恒有l₁和l₂被曲線C₂截得的弦長相等，則圓心（0，-

4

3

）到l₁和l₂的距離相等，運用點到直線的距離公式，化簡整理，再由k為任意的得到m，n的方程，解得即可得到P的坐標．

解答： 解：（1）設M（x，y），則由題意可得，

x2+(y-2)2-1

：

x2+(y+1)2

=λ，
平方可得，（λ²-1）x²+（λ²-1）y²+（2λ²+4）y+λ²-3=0，
當λ=1時，點M的軌跡方程為：3y-1=0；
λ=

10

時，點M的軌跡方程為：圓9x²+9y²+24y+7=0；
（2）設P（m，n），l₁：y-n=k（x-m），l₂：y-n=-

1

k

（x-m），
由于恒有l₁和l₂被曲線C₂截得的弦長相等，則圓心（0，-

4

3

）到l₁和l₂的距離相等，
即有

| 4 3 +n-km|

1+k2

=

| 4 3 +n+ m k |

1+ 1 k2

，化簡可得，|

4

3

+n-km|=|

4

3

k+nk+m|，
即有

4

3

+n-km=

4

3

k+nk+m，或

4

3

+n-km+

4

3

k+nk+m=0，
則有（

4

3

+n-m）=k（

4

3

+n+m），或（

4

3

+n+m）=k（

4

3

+n-m），
則有由于k為任意的，則

4

3

+n-m=

4

3

+n+m=0，
解得，m=0，n=-

4

3

．
即有P（0，-

4

3

），檢驗滿足條件．
故所有滿足條件的點P的坐標為（0，-

4

3

）．

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線和圓相切的切線長問題和直線和圓相交的弦長問題，考查運算能力，屬于中檔題．