Question

四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，點M、N分別在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN．
（1）求AM與PD所成的角；
（2）求二面角P-AM-N的余弦值；
（3）求直線CD與平面AMN所成角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）根據條件證明AM⊥平面PCD即可．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出對應的平面的法向量，即可．
（3）利用向量法求出法向量即可．

解答： 解：（1）因為四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，
則CD⊥側面PAD
∴CD⊥AM，又PA=AD=2，∴AM⊥PD．
又PD∩CD=D，
∴AM⊥平面PCD．
∵PD?平面PCD，
∴AM⊥PD，
即AM與PD所成的角為90°．
（2）由（1）知M為PD的中點，
由題意建立如圖所示的空間直角坐標系，
可得A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
則

AB

=（2，0，0），
∵PC⊥平面AMN，∴

PC

=（2，2，-2），
則cos＜

AB

，

PC

＞=

AB • PC

| AB |•| PC |

=

2×2

2× 22+22+(-2)2

4

2 12

=

3

3

，
即二面角P-AM-N的余弦值為

3

3

．
（3）∵CD∥AB，
∴直線AB與平面AMN所成角，即為CD與平面AMN所成角
∵cos＜

AB

，

PC

＞=

AB • PC

| AB |•| PC |

=

2×2

2× 22+22+(-2)2

4

2 12

=

3

3

，
∴sin＜

AB

，

PC

＞=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
直線CD與平面AMN所成角的余弦值=sin＜

AB

，

PC

＞=

1-( 3 3 )2

=

6

3

．

點評：本題主要考查空間角的求解，建立坐標系，利用空間向量法是解決本題的關鍵．