Question

如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，BD=4

2

，E為PD的中點．
（1）求證：BD⊥面PAC；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值；
（3）設M為PA的中點，在棱BC上是否存在點F，
使MF∥面ACE？如果存在，請指出F點的位置；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AB=4，ABCD為正方形，BD⊥AC，BD⊥PA，由此能證明BD⊥面PAC．
（2）建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．
（3）M的坐標為（0，0，2）．設棱BC上存在點F（4，λ，0）使MF∥平面ACE，利用向量法能求出在棱BC上存在點F，使MF∥平面ACE，且F為棱BC的中點．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：在Rt△ABD中，AD=4，BD=4

2

，
∴AB=4，ABCD為正方形，∴BD⊥AC．…（2分）
∵PA⊥面ABCD，BD?面ABCD，∴BD⊥PA．…（3分）
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥面PAC．…（4分）
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0）、D（0，4，0）、
P（0，0，4）．…（5分）
在Rt△ABD中，AD=4，BD=4

2

，
∴AB=4，C（4，4，0），E（0，2，2），
∴

AE

=(0，2，2)，

AC

=(4，4，0)．…（6分）
設面ACE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AE =0 n • AC =0

⇒

2y+2z=0 4x+4y=0

，
可以得到面ACE的一個法向量

n

=(1，-1，1)．…（7分）
又∵PA⊥平面ABCD，∴

AP

=(0，0，4)為面ACD的一個法向量，…（8分）
則cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n || AP |

=

4

3 ×4

=

3

3

，
∴二面角E-AC-D的余弦值為

3

3

．…（10分）
（3）解：∵M為PA的中點，∴M的坐標為（0，0，2）．
設棱BC上存在點F（4，λ，0）使MF∥平面ACE，
則

MF

=(4，λ，-2)，…（11分）
由（2）得面ACE的一個法向量

n

=(1，-1，1)，
∴

MF

•

n

=0⇒λ=2，…（13分）
∴在棱BC上存在點F，使MF∥平面ACE，且F為棱BC的中點．…（14分）
（用其他方法解答的，可以參照給分）

點評：本題考查BD⊥面PAC的證明，考查二面角E-AC-D的余弦值的求法，考查在棱BC上是否存在點F，使MF∥面ACE的判斷與求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．