Question

【題目】已知函數 （a＞0）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當 a=1時， ，
，
所以，函數f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為
即：5x﹣4y﹣4=0
（Ⅱ）函數的定義域為：{x|x≠0}

當0＜a≤2時，f′（x）≥0恒成立，
所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上單調遞增
當a＞2時，令f′（x）=0，
即：ax2+2﹣a=0， ，
f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；
f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2 ，
所以，f（x）單調遞增區間為 ，
單調減區間為 ．
（Ⅲ）因為f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，
則 ．
令g′（x）=0，則
若 ，即a=1時，g′（x）≥0，
函數g（x）在[1，+∞）上單調遞增，又g（1）=0，
所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；
若 ，即a＜1時，當 時，
g′（x）＞0，g（x）單調遞增；
當 時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減
所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值為 ，
因為g（1）=0，所以 不合題意．
，即a＞1時，當 時，
g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
當 時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（1）
又因為g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立
綜上知，a的取值范圍是[1，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，計算f（2），f′（2）的值，代入切線方程即可；（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，確定函數的單調性即可；（Ⅲ）問題等價于 在[1，+∞）上恒成立，令 ，根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．