Question

已知圓M：x²+y²=4，O為坐標(biāo)原點，直線l與圓M相切，且與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，則△OAB的面積最小值是______．

Answer 1

設(shè)A（a，0），B（0，b），則切線l的方程為：

x

a

+

y

b

=1（a，b＞0）．即bx+ay-ab=0．
∵直線l與⊙M相切，∴

ab

a2+b2

=2，化為

a2b2

4

=a2+b2，
∴

a2b2

4

≥2ab，∴ab≥8．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2

2

時取等號．
∴△OAB的面積S=

1

2

ab≥

1

2

×8=4．
故答案為：4．