Question

【題目】已知函數有且僅有三個零點，并且這三個零點構成等差數列，則實數a的值為_______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

利用函數與方程之間的關系，轉化為兩個函數交點問題，結合分段函數的性質進行轉化求解即可．

函數0，

得|x+a|a＝3，

設g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，

則函數g（x），

不妨設f（x）＝0的3個根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，

當x＞﹣a時，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，

得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，

解得x＝﹣1，或x＝4；

若 ①﹣a≤﹣1，即a≥1，此時 x2＝﹣1，x3＝4，由等差數列的性質可得x1＝﹣6，

由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，滿足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．

若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，則f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有兩個不同的解，不妨設x1，x2，其中x3＝4，

所以有x1，x2是﹣x2a＝3的兩個解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的兩個解．

得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，

又由設f（x）＝0的3個根為x1，x2，x3成差數列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，

解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．

③﹣a＞4，即a＜﹣4時，f（x）＝0最多只有兩個解，不滿足題意；

綜上所述，a或﹣1．