Question

設方程2^x+x+2=0和log₂x+x+2=0的根分別為p和q，凼數f（x）=（x+p）（x+q），則關于x的不等式f（x²+2x+2）＜f（0）的解集是

 

．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：把兩個方程分別看作指數函數與直線y=-x-2的交點B和對數函數與直線y=-x-2的交點A的橫坐標分別為p和q，而指數函數與對數函數互為反函數則關于y=x對稱，求出AB的中點坐標得到p+q=-2；然后把函數f（x）化簡后得到一個二次函數，對稱軸為直線x=-

p+q

2

=1，所以x²+2x+2≥1，f（2）=f（0）且當x＞1時，函數為增函數，即可得到答案．

解答： 解：方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0可以分別看作方程方程2^x=-x-2和方程log₂x=-x-2，
方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為p和q即分別為函數y=2^x與函數y=-x-2的交點B橫坐標為p；y=log₂^x與y=-x-2的交點C橫坐標為q．
由y=2^x與y=log₂^x互為反函數且關于y=x對稱，所以BC的中點A一定在直線y=x上，
聯立得

y=x y=-x-2

，解得A點坐標為（-1，-1）
根據中點坐標公式得到

p+q

2

=-1，即p+q=-2，
則f（x）=（x+p）（x+q）+2=x²+（p+q）x+pq+2為開口向上的拋物線，且對稱軸為x=-

p+q

2

=1，
因為x²+2x+2≥1，f（2）=f（0）且當x＞1時，函數為增函數，
所以由f（x²+2x+2）＜f（0），可得x²+2x+2＜2，
所以-2＜x＜0，
故答案為：（-2，0）．

點評：此題是一道綜合題，考查學生靈活運用指數函數、對數函數的圖象與性質，要求學生掌握反函數的性質，會利用二次函數的圖象與性質解決實際問題．