Question

已知m∈R，設(shè)P：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實(shí)數(shù)a∈[-1，1]恒成立．Q：函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在（-∞，+∞）上有極值．求使P正確且Q正確的m的取值范圍．

Answer 1

分析：由題設(shè)知x₁+x₂=a且x₁+x₂=-2，所以，|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

≤3，由題意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實(shí)數(shù)a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集，由此知當(dāng)m≤1或0≤m≤5或m≥6時(shí)，P是正確的．f′(x)=3x2+2mx+m+

4

3

，由題設(shè)能夠得到當(dāng)且僅當(dāng)△＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上有極值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜1或m＞4時(shí)，Q是正確得．由此可知使P正確且Q正確時(shí)，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由題設(shè)x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根，得x₁+x₂=a且x₁x₂=-2，
所以，|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，a²+8的最大值為9，即|x₁-x₂|≤3
由題意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實(shí)數(shù)a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集，由此不等式得m²-5m-3≤-3①
或m²-5m-3≥3②
不等式①的解為0≤m≤5不等式②的解為m≤1或m≥6因?yàn)椋瑢�m≤1或0≤m≤5或m≥6時(shí)，P是正確的．
對函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6求導(dǎo)f′(x)=3x2+2mx+m+

4

3

令f'（x）=0，即3x2+2mx+m+

4

3

=0此一元二次不等式的判別式△=4m2-12(m+

4

3

)=4m2-12m-16．
若△=0，則f'（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根x₀，且f'（x）的符號如下：

因此，f（x₀）不是函數(shù)f（x）的極值．
若△＞0，則f'（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁和x₂（x₁＜x₂），且f'（x）的符號如下：

因此，函數(shù)f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)△＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上有極值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
因?yàn)椋��?dāng)m＜1或m＞4時(shí)，Q是正確的．
綜上，使P正確且Q正確時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查命題真假的判斷的應(yīng)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．