Question

已知m∈R，設P：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個根，不等式|m-5|≤|x₁-x₂|對任意實數a∈[1，2]恒成立；Q：函數f（x）=3x²+2mx+m+

4

3

有兩個不同的零點．求使“P且Q”為真命題的實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用二次方程的韋達定理求出|x₁-x₂|，將不等式恒成立轉化為求函數的最值，求出命題p為真命題時m的范圍；
利用二次方程有兩個不等根判別式大于0，求出命題Q為真命題時m的范圍；P且Q為真轉化為兩個命題全真，
求出m的范圍．

解答：解：由題設x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

．
當a∈[1，2]時，

a2+8

的最小值為3．
要使|m-5|≤|x₁-x₂|對任意實數a∈[1，2]恒成立，只須|m-5|≤3，即2≤m≤8．
由已知，得f（x）=3x²+2mx+m+

4

3

=0的判別式
△=4m²-12（m+

4

3

）=4m²-12m-16＞0，
得m＜-1或m＞4．
綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

2≤m≤8 m＜-1或m＞4

，

2≤m≤8 m＜-1或m＞4

，
解得實數m的取值范圍是（4，8]．

點評：本題考查二次方程的韋達定理、二次方程有根的判斷、復合命題的真假與構成其簡單命題的真假的關系．