Question

（2011•寶坻區一模）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

5

=1（a＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，A是橢圓C上的一點，

AF2

•

F1F2

=0，坐標原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF₁|．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設Q是橢圓C上的一點，過點Q的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定焦點坐標，求出A的坐標，可得AF₁所在直線方程，求出坐標原點O到直線AF₁的距離，利用坐標原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF₁|，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設出直線l的方程，利用|

MQ

|=2|

QF

|，確定Q的坐標，代入橢圓方程，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題設知F1(-

a2-2

，0)，F2(

a2-2

，0)，
由于

AF2

•

F1F2

=0，則有

AF2

⊥

F1F2

=0，所以點A的坐標為(

a2-2

，±

2

a

)  …（2分）
故AF₁所在直線方程為y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)   …（4分）
所以坐標原點O到直線AF₁的距離為

a2-2

a2-1

又|OF₁|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=

1

3

a2-2

，解得：a=2 …（6分）
∴所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1   …（7分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+1），則有M（0，k）      …（8分）
設Q（x₁，y₁），由于Q、F、M三點共線，且|

MQ

|=2|

QF

|，
∴（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得

x1=-2 y1=-k

或

x1=- 2 3 y1= k 3

  …（11分）
又Q在橢圓C上，故

(-2)2

4

+

(-k)2

2

=1或

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1…（12分）
解得k=0或k=±4，所以所求直線l的斜率為0或±4       …（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．