Question

【題目】函數的定義域為D，若存在閉區間，使得函數滿足：①在內是單調函數；②在上的值域為，則稱區間為的“倍值區間”.下列函數中存在“倍值區間”的有_______

① ② ③

Answer 1

【答案】①③

【解析】

根據”倍值區間”的定義,分別對三個函數研究,從而可確定存在”倍值區間”的函數.

對于①,假設函數存在”倍值區間”,因為函數為單調遞增函數,

所以,所以,解得,

所以存在”倍值區間”;

對于②,假設函數存在”倍值區間”,因為為遞增函數,

所以,所以,

構造函數,則,

所以由得,遞增;

由得,遞減,

所以在時取得最小值,最小值為,

所以恒成立,所以無解,

故不存在”倍值區間”;

對于③,,假設函數存在”倍值區間”,因為,

所以.

由得,由得,

所以在上遞增,在上遞減,

假設,

則函數在上遞增,

所以,所以,所以,

所以函數存在”倍值區間”.

綜上所述: 函數中存在“倍值區間”的有:①③.

故答案為:①③.