Question

已知四棱錐P－ABCD的正視圖是一個底邊長為4，腰長為3的等腰三角形，如圖分別是四棱錐P－ABCD的側視圖和俯視圖．

(1)求證：AD⊥PC；

(2)求四棱錐P－ABCD的側面PAB的面積．

 

Answer 1

（1）見解析（2）6

【解析】(1)證明：依題意，可知點P在平面ABCD上的正射影是線段CD的中點E，連接PE，則PE⊥平面ABCD.

∵AD?平面ABCD，

∴AD⊥PE.

∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，CD?平面PCD，PE?平面PCD，

∴AD⊥平面PCD.

∵PC?平面PCD，

∴AD⊥PC.

(2)依題意，在等腰三角形PCD中， PC＝PD＝3，DE＝EC＝2，

在Rt△PED中，PE＝.

過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接PF，

∵PE⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，

∴AB⊥PE.

∵EF?平面PEF，PE?平面PEF，EF∩PE＝E，

∴AB⊥平面PEF.

∵PF?平面PEF，

∴AB⊥PF，

依題意得EF＝AD＝2.

在Rt△PEF中，PF＝＝3，

∴△PAB的面積為S＝·AB·PF＝6.

∴四棱錐P－ABCD的側面PAB的面積為6.