【題目】給定數列
，若滿足
（
且
），對于任意
，都有
，則稱數列為指數數列.
（1）已知數列、
的通項公式分別為
，
，試判斷、是不是指數數列（需說明理由）；
（2）若數列滿足：
，
，
，證明：是指數數列；
（3）若是指數數列，
，證明：數列中任意三項都不能構成等差數列.
【答案】（1）
不是指數數列，
是指數數列，見解析；（2）見解析；（3）見解析
【解析】
（1）對數列、，驗證
與
，
與
是否相等，由此判斷出、是不是指數數列.
（2）利用累加法求得數列的通項公式，然后驗證
，由此證得是指數數列.
（3）首先根據指數數列的定義求得數列的通項公式，利用反證法，證得數列中任意三項都不能構成等差數列.
（1）對于數列，
，
，
，因為
，所以不是指數數列.
對于數列，對任意
，因為
，所以是指數數列.
（2）由題意，
，所以數列
是首項為
，公比為2的等比數列.所以
.
所以，
，
即的通項公式為
.所以
，故是指數數列.
（3）因為數列是指數數列，故對于任意的，有，令
，則
，
所以是首項為
，公比為的等比數列，所以，
.
假設數列中存在三項
，
，
構成等差數列，不妨設
，
則由
，得
，所以
，
當
為偶數時，
是偶數，而
是偶數，
是奇數，
故不能成立；
當為奇數時，是偶數，而是奇數，是偶數，
故也不能成立.
所以，對任意
，不能成立，
即數列的任意三項都不成構成等差數列.
（另證：因為對任意，一定是偶數，而
與
為一奇一偶，故與也為一奇一偶，故等式右邊一定是奇數，等式不能成立.）
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】青島二中高一高二高三三個年級數學MT的學生人數分別為240人，240人，120人，現采用分層抽樣的方法從中抽取5名同學參加團隊內部舉辦的趣味數學比賽，再從5位同學中選出2名一等獎記A＝“兩名一等獎來自同一年級”，則事件A的概率為_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列有關命題的說法正確的是__________________.
①命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為：若x≠1，則x2－3x＋2≠0
②x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要條件
③若p∧q為假命題，則p，q均為假命題
④對于命題p：x∈R，使得x2＋x＋1<0，則非p：x∈R， 均有x2＋x＋1≥0
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中，正確的是（ ）
A.一條直線與兩個平行平面中的一個平行，則必與另一個平面平行
B.空間中兩條直線要么平行，要么相交
C.空間中任意的三個點都能唯一確定一個平面
D.對于空間中任意兩條直線，總存在平面與這兩條直線都平行
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據下圖給出的2000年至2016年我國實際利用外資情況，以下結論正確的是
A. 2000年以來我國實際利用外資規模與年份負相關
B. 2010年以來我國實際利用外資規模逐年增加
C. 2008年我國實際利用外資同比增速最大
D. 2010年以來我國實際利用外資同比增速最大
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】焦點在x軸上的橢圓C：
經過點
，橢圓C的離心率為
．
，
是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點M為
的中點（O為坐標原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數
，使得
；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了解所經銷商品的使用情況，隨機問卷50名使用者，然后根據這50名的問卷評分數據，統計得到如圖所示的頻率布直方圖，其統計數據分組區間為[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）求這50名問卷評分數據的中位數；
（3）從評分在[40，60）的問卷者中，隨機抽取2人，求此2人評分都在[50，60）的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，左、右焦點分別為
，
，焦距為6.
（1）求橢圓
的方程.
（2）過橢圓左頂點的兩條斜率之積為
的直線分別與橢圓交于
點.試問直線
是否過某定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由.
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