Question

若函數f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1在區間（

1

3

，4）上有極值點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（2，

  10

  3

  ）
• B、[2，

  10

  3

  ）
• C、（

  10

  3

  ，

  17

  4

  ）
• D、（2，

  17

  4

  ）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：求導f′（x）=x²-ax+1，從而先判斷△=a²-4＞0；從而可得a＞2或a＜-2；從而討論求實數a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1，
∴f′（x）=x²-ax+1，
x²-ax+1=0有兩個解
則△=a²-4＞0；
故a＞2或a＜-2；
函數f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1在區間（

1

3

，4）上有極值點可化為x²-ax+1=0在區間（

1

3

，4）有解，
①當2＜a＜8時，f′（4）＞0，
即16-4a+1＞0，
故a＜

17

4

；
故2＜a＜

17

4

；
②當a≥8時，
f′（4）f′（

1

3

）＜0，
無解；
綜上所述，2＜a＜

17

4

．
故選：D．

點評：本題考查了導數的綜合應用及分類討論的思想應用，屬于中檔題．