Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是周期為3的奇函數(shù)，當x∈（0，

3

2

）時，f（x）=sinπx，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，5]上零點個數(shù)為（　　）

• A、0
• B、8
• C、7
• D、6

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)的周期性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：討論函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)解析式，再求零點，再由周期3，確定在區(qū)間[0，5]內(nèi)的零點個數(shù)．

解答： 解：由于定義在R上的函數(shù)f（x）是周期為3的奇函數(shù)，
則當-

3

2

＜x＜0時，0＜-x＜

3

2

，由于當x∈（0，

3

2

）時，f（x）=sinπx，
則有f（-x）=sin（-πx）=-sinπx，又f（-x）=-f（x），
即有f（x）=sinπx（-

3

2

＜x＜0），由于f（0）=0，
則有f（x）=sinπx（-

3

2

＜x＜

3

2

），
令sinπx=0，解得，πx=kπ（k∈Z），即x=k，
在-

3

2

＜x＜

3

2

時，x=-1，0，1，f（x）=0，即一個周期內(nèi)有3個零點，
在區(qū)間[0，5]上，f（0）=0，f（1）=0，f（2）=f（-1）=0，f（3）=0，
f（4）=f（1）=0，f（5）=f（2）=0，
則共有6個零點．
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的周期性及運用，考查函數(shù)的零點的判斷，注意考慮一個周期內(nèi)的情況，屬于中檔題．