Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺）．
（1）證明：數列{log₂（a_n+1）}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

1

an

+

1

an+2

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得log₂（a_n+1+1）=log₂（a_n+1）²=2log₂（a_n+1），log₂（a₁+1）=log₂3，由此能證明數列{log₂（a_n+1）}是首項為log₂3，公比為2的等比數列，從而求出an=32n-1-1．
（2）由a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺），兩邊取對數，得

2

an+1

=

1

an

-

1

an+2

，從而

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，進而b_n=2（

1

an

-

1

an+1

），由此利用裂項求和法能求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：∵數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺），
∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∴log₂（a_n+1+1）=log₂（a_n+1）²=2log₂（a_n+1），
∴

log2(an+1+1)

log2(an+1)

=2，
又log₂（a₁+1）=log₂3，
∴數列{log₂（a_n+1）}是首項為log₂3，公比為2的等比數列，
∴log₂（a_n+1）=log₂3•2^n-1，
∴an+1=32n-1，
∴an=32n-1-1．
（2）解：∵a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺），
兩邊取對數，得

2

an+1

=

1

an

-

1

an+2

，
即

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
∵b_n=

1

an

+

1

an+2

，∴b_n=2（

1

an

-

1

an+1

），
∴S_n=2[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）]
=2（

1

a1

-

1

an+1

）
=1-

2

32n-1

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．