Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，已知橢圓上存在點，使，且這樣的點有且只有兩個.

（1）求橢圓的離心率；

（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，且，是坐標原點，求的面積取得最大值時的橢圓方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用橢圓的對稱性可知滿足條件的點有且只有兩個,則點位于橢圓的上下頂點,則根據橢圓的幾何性質求解即可；

（2）設直線,橢圓的方程為,二者聯立可得,且,根據韋達定理可得,由可得,即,代入中,再利用均值定理求解可得,代回求得點,進而求得即可.

解:（1）由題,根據橢圓的對稱性可知,滿足條件的點有且只有兩個,

則點位于橢圓的上下頂點,

則離心率

（2）易知直線不與軸重合,設,,,

由（1）,因為,所以,所以設橢圓的方程為,

聯立,消去可得,

則,即①

所以②

因為,所以,

代入②式可得,

所以,

當且僅當,即時,的面積有最大值,

不妨令,則,,代入,可得,滿足①式,

故橢圓的方程為.