Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y²=2x相交于P、Q兩點，如果

OP

•

OQ

=3，O為坐標原點．證明：直線l過定點．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：設出直線的方程，同拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系表示出數量積，根據數量積等于3，做出數量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．

解答： 證：由題意，直線的斜率不為0，所以設l：ky=x+b，代入拋物線y²=2x，消去x得y²-2ky+2b=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則y₁+y₂=2k，y₁y₂=2b，
∵

OP

•

OQ

=3，
∴x₁x₂+y₁y₂=3，即（k²+1）y₁y₂-kb（y₁+y₂）+b²=3
代入得2（k²+1）b-2k²b+b²=3，解得b=-3或者b=1，
∴直線方程為ky=x-3或者ky=x+1，
故直線l過定點（3，0）或者（-1，0）．

點評：本題主要考查向量的數量積的運算，以及直線與拋物線的位置關系．