Question

已知函數f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cosx，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，設內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若f（A）=

3

2

且a=

3

2

b，試求角B的大小．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象,正弦定理

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）將函數f（x）進行化簡，利用三角函數的圖象和性質即可求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

求出A的大小，根據a=

3

2

b結合正弦定理即可求出B．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin（x+

π

3

），
則函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得-

π

6

+2kπ≤x≤

5π

6

+2kπ，
即函數的單調遞增區間為[-

π

6

+2kπ，

5π

6

+2kπ]，k∈Z．
（2）∵若f（A）=

3

2

，
∴sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，則

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

2π

3

，解得A=

π

3

，
∵a=

3

2

b，
∴

sinA

sinB

=

a

b

=

3

2

，即sinB=1，
則B=

π

2

．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．