Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，
將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使，得到三棱錐，如圖所示。
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求證：平面BCD；
（2）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，
求二面角的正切值。

Answer 1

（1）見解析；（2）.

本試題主要考查了立體幾何中的二面角的求解線面垂直的證明。
（1）證明：根據(jù)題意，在中，，
所以                                    2分
因?yàn)锳C、BD是正方形ABCD的對(duì)角線，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232130532381364.png" style="vertical-align:middle;" />所以    4分
（2）解：由（1）知，，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則
.
設(shè)   6分
又設(shè)平面ABD的法向量為，
則 
所以所以                           8分
因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量且二面角A-BD-C的大小為，
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232130536601072.png" style="vertical-align:middle;" />
解得。         9分
設(shè)平面ABC的法向量為
 令
所以                                                  10分
設(shè)二面角A-BC-D的平面角為，
所以 所以
所以二面角A-BC-D的正切值為.                                  12分