Question

【題目】已知函數，，m，nR.

（1）當m＝0時，求函數的極值；

（2）當n＝0時，函數在(0，)上為單調函數，求m的取值范圍；

（3）當n＞0時，判斷是否存在正數m，使得函數與有相同的零點，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）函數有極大值﹣1，無極小值;（2）m的取值范圍為{0};（3）存在正數m，使得函數與有相同的零點，詳見解析.

【解析】

（1）當時，利用研究函數的單調性，由此求得函數的極值.

（2）當時，由或恒成立，將分成，，和四種情況進行分類討論，由此求得的取值范圍.

（3）設為相同的零點，由此得到，進而得到①，②.通過構造函數法，結合零點存在性定理，證得①②能同時成立，由此證得存在符合題意的正數.

（1）當m＝0時，，

∴，令，解得x＝1，列表如下：

x	(0，1)	1	(1，)
	＋	0	－
	單調遞增		單調遞減

∴當x＝1時，函數有極大值﹣1，無極小值；

（2）當n＝0時，函數

∴，

要使函數在(0，)上為單調函數，

則對(0，)，或恒成立，

令，或恒成立

①當0＜m＜2時，(0，)(，)時，，(，)時，，不符題意；

②當m＜0時，(0，)(，)時，，(，)時，，不符題意；

③當m≥2時，(0，)時，，(，)時，，不符題意；

④當m＝0時，，此時恒成立，

函數在(0，)上單調遞減，符合題意，

綜上所述，m的取值范圍為{0}；

（3）∵函數與有相同的零點，不妨設為相同的零點

則，

得①，②，

由（1）知，故，

∴，

令，

又，，

故當(1，n＋3)時，，②式有解，且能滿足，

∴存在正數m，使得函數與有相同的零點.