Question

已知正項數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

1+an

，則數列{a_n}的通項公式為

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知條件利用遞推思想求出數列的前4項，由此猜想：a_n=

1

n+1

．再用數學歸納法證明．

解答： 解：∵正項數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

1+an

，
∴由題意得a₁=

1

2

，a₂=

1

3

，a₃=

1

4

，a₄=

1

5

，…
以此類推，猜想：a_n=

1

n+1

．
用數學歸納法證明：
①n=1時，a1=

1

2

，顯然猜想成立；
②設n=k時也成立，即有a_k=

1

k+1

，
由題意可得：
a_k+1=

ak

1+ak

=

1 k+1

1+ 1 k+1

=

1

(k+1)+1

，
∴猜想成立
∴an=

1

n+1

．
故答案為：an=

1

n+1

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數學歸納法的合理運用．