Question

【題目】已知橢圓E： 的離心率為 ，F1 ， F2分別是它的左、右焦點，且存在直線l，使F1 ， F2關于l的對稱點恰好為圓C：x2+y2﹣4mx﹣2my+5m2﹣4=0（m∈R，m≠0）的一條直徑的兩個端點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設直線l與拋物線y2=2px（p＞0）相交于A，B兩點，射線F1A，F1B與橢圓E分別相交于點M，N，試探究：是否存在數集D，當且僅當p∈D時，總存在m，使點F1在以線段MN為直徑的圓內？若存在，求出數集D；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將圓C的方程配方的：（x﹣2m）2+（y﹣m）2=4，則圓心C（2m，m），半徑為2，

由橢圓的焦距為2c=d=4，c=2，

由e= = ，則a=3，

b2=a2﹣c2=5，故橢圓的方程為 ；

（2）由F1，F2關于l的對稱點恰好是圓C的一條直徑的兩個端點，則直線l是線段OC的垂直平分線，

故l方程為y=﹣2x+ ，

，整理得2y2+2py﹣5pm=0，

則△=（2p）2+4×2×5p＞0，則p+10m＞0，

設A（x1，y1），B（x1，y1），則y1+y2=﹣p，y1y1=﹣ ，

由F1的坐標為（﹣2，0），則 =（x1+2，y1）， =（x2+2，y2），

由 與 同向， 與 同向，

則點F1在以線段MN為直徑的圓內，則 ＜0，則 ＜0，

則（x1+2）（x2+2）+y1y2＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4+y1y1＜0，則 +10（2﹣p）m+4（p+4）＜0，

當且僅當△=100（2﹣p）2﹣100（p+4）＞0，即p＞5，

總存在m使得②成立，

當p＞5時，由韋達定理可知 +10（2﹣p）m+4（p+4）=0的兩個根為正數，

故使②成立的m＞0，從而滿足①，

故存在整數集D=（5，+∞），當且僅當p∈D時，總存在m，使點F1在線段MN為直徑的圓內．

【解析】（1）將圓C的一般方程變為標準方程，得到圓心坐標和半徑，根據題意不難得到橢圓方程中的a，b，c，（2）由F1，F2關于l的對稱點恰好是圓C的一條直徑的兩個端點，則直線l是線段OC的垂直平分線，可得到直線l的方程，聯立拋物線方程，由韋達定理得到y1+y2，y1y1，根據點 F1在以線段MN為直徑的圓內，可得到 ＜0，表示出向量進行求解即可.