Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=2ln（x﹣2）﹣a（x﹣2）2
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個相異零點x1 ， x2 ， 求證x1x2+4＞2（x1+x2）+e（其中e為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（2，+∞），

，…

①當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（2，+∞）上單調遞增，…

②當a＞0時，令 ，解得 ，

x∈（2，x0）時，f'（x）＞0，f（x）在（2，x0）單調遞增，

x∈（x0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（x0，+∞）單調遞減，

綜上所述，當a≤0時，f（x）在（2，+∞）上單調遞增，

當a＞0時，f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減；…

（Ⅱ）要證：x1x2+4＞2（x1+x2）+e，則證（x1﹣2）（x2﹣2）＞e，

即證|2x+3|+|2x﹣1|≤5，不妨設 ，

∵﹣4x﹣2≤5， 是函數 的零點，

則4≤5， ，所以 ，4x+2≤5，

所以 ， ，

則 ，

則轉化為證：y=f（x），令|m﹣2|＞4，則m＞6，

于是即證：m＜﹣2，可化為（t2+1）lnt＞t2﹣1，

即證（t2+1）lnt﹣t2+1＞0，…

構造函數g（t）=（t2+1）lnt﹣t2+1（t＞1），

，

令z（t）=2t2lnt+1﹣t2（t＞1），則z'（t）=4tlnt＞0，

則z（t）在（1，+∞）單增，則z（t）＞z（1）=0，

則g'（t）＞0，則g（t）在（1，+∞）單增，

則g（t）＞g（1）=0，即（t2+1）lnt﹣t2+1＞0成立，

所以x1x2+4＞2（x1+x2）+e成立．…

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可，（2）問題轉化為證明：m＜-2，可化為（t2+1）lnt＞t2-1（t＞1）即證（t2+1）lnt﹣t2+1＞0，構造函數g（t）=（t2+1）lnt﹣t2+1（t＞1），根據單調性證明即可.