Question

已知向量

m

=（e^x，lnx+k），

n

=（1，f（x）），

m

∥

n

（k為常數，e是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，F（x）=xe^xf′（x）．
（1）求k的值；
（2）求F（x）的單調區間及最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）由向量共線的坐標運算得到函數f（x）的解析式，求導后由在x=1時的導數值等于0得到k的值；
（2）對F（x）=xe^xf′（x）求導，由導函數的符號得到F（x）的單調區間，可得函數的最大值．

解答： 解：（1）∵

m

=（e^x，lnx+k），

n

=（1，f（x）），

m

∥

n

，
則e^xf（x）=lnx+k，∴f（x）=

lnx+k

ex

，
∴f′（x）=

1 x -lnx-k

ex

，
由已知f′（1）=0，∴k=1．
（2）F（x）=1-xlnx-x．
∴F′（x）=-lnx-2．
由F′（x）=-lnx-2≥0，解得：0＜x≤

1

e2

．
由F′（x）=-lnx-2≤0，解得x≥

1

e2

．
∴F（x）的增區間為（0，

1

e2

]，減區間為[

1

e2

，+∞），
∴x=

1

e2

時，F（x）取得最大值1+

1

e2

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了向量共性的坐標表示，訓練了利用導數求函數的最值，體現了數學轉化思想方法，是高考試卷中的壓軸題．