Question

【題目】設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為1的直角三角形．

(1)求該橢圓的離心率和標準方程；

(2)點M為該橢圓上任意一點，求|MA|的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 離心率e＝ (2) 的取值范圍為[0， ].

【解析】試題分析：（1）由△AB1B2是面積為1的等腰直角三角形知|OA|=|OB1|=1，從而求a，b，c即可；（2）求點點距離，設出點坐標M的坐標為(x0，y0)，再二元化一元即可；

(1)設所求橢圓的標準方程為 (a>b>0) (a>b>0)，右焦點為F2(c,0)．

因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2為直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝ ，結合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，

所以離心率e＝ .

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝ ·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.

由題設條件S△AB1B2＝2得b2＝1，從而a2＝5b2＝5，

因此所求橢圓的標準方程為.

（2）A (0,1)．

設點M的坐標為()，因為點M為橢圓上任意一點，代入橢圓 ＝5－5 .所以

因為－1≤y0≤1，所以

所以的取值范圍為[0， ]．