Question

已知函數f（x）的定義域為（-3，3），函數g（x）=f（2x-1）+f（x-3）．
（1）求函數g（x）的定義域；
（2）若f（x）是奇函數，且在定義域上單調遞減，求不等式g（x）≤0的解集．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意知，

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3

，解此不等式組得出函數g（x）的定義域．
（2）等式g（x）≤0，即  f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），有

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3 2x-1≥3-x

，解此不等式組，
可得結果．

解答： 解：（1）∵數f（x）的定義域為（-3，3），函數g（x）=f（2x-1）+f（x-3）．
∴

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3

，
∴0＜x＜2，
函數g（x）的定義域（0，2）．
（2）∵f（x）是奇函數且在定義域內單調遞減，不等式g（x）≤0，
∴f（2x-1）≤-f（x-3）=f（3-x），
∴

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3 2x-1≥3-x

，
∴

4

3

≤x＜2，
故不等式g（x）≤0的解集是[

4

3

，2）．

點評：本題考查函數的定義域的求法，利用函數的單調性和奇偶性解不等式，屬于基礎題．