Question

已知函數f（x）=-9^x+3^x+1+4．
（1）求函數f（x）的零點；
（2）當x∈[0，1]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：指數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：利用換元法，轉化為二次函數，利用配方法，根據函數的定義域，即可求得函數f（x）零點和x∈[0，1]時函數的值域．

解答： 解：f（x）=-9^x+3^x+1+4=-（3^x）²+3×3^x+4，
令t=3^x，（t＞0），則y=-t²+3t+4，
（1）由-t²+3t+4=0得：
t=4或t=-1（舍）
所以3^x=4，x=log₃4，
所以函數的零點是log₃4，
（2）當x∈[0，1]時，t∈[1，3]，
因為函數y=-t²+3t+4的對稱軸是t=

3

2

，
所以y∈[4，

25

4

]，
即函數f（x）的值域為[4，

25

4

]，

點評：本題考查函數值域的求解，考查換元法的運用，解題的關鍵是換元轉化為二次函數求值域問題．